数学定理的曲折发展史：费马大定理证明过程

费马大定理，对于很多同学来说是头疼的事情，但是想想发现和论证这个定理的才是更厉害的。今天阿尔法趣味数学网给同学们带来数学定理的曲折发展史：费马大定理证明过程。

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【数学定理的曲折发展史：费马大定理证明过程】趣味小故事：

费马大定理趣味发展史：

　　“哥哥，我问个问题可以吗？”尤里说道。

　　“可以啊。”我目光从笔记本上移开，抬头看向她。

　　11月的某个周六下午，尤里又如往常一样来了我家。我们吃了手抓肉饭以后，她就在我的房间懒懒散散地读着书，我则写着有限域 Fp 的运算表。

　　“有费马大定理这个东西吧？哥哥。”

　　“嗯。”

　　费马大定理

　　当n≥3时，以下方程式不存在自然数解。

　　x?+y?=z?

　　“为什么费马大定理这么有名啊？”

　　“这个嘛……我认为主要原因有三个。”我说。

　　● 问题本身谁都能理解。

　　● 费马曾写道：“我确信已发现了一种美妙的证法。”

　　● 即便如此，其后350年却没有人能证明它。

　　“除了专业的数学家以外，是没人能理争那些数学界最尖端的问题的。别说解答问题了，连问题的含义都没法理解。但费马大定理不同，谁都能理解问题的含义，但是却连数学家都解不开它。”

　　“嗯，虽然人家很笨，不过人家也明白费马大定理的含义。”

　　“都说尤里你不笨了。——费马在数学书的空白处留下的笔记是种暗示。”

　　我确信已发现了一种美妙的证法，

　　可惜这里空白的地方太小，写不下。

　　“这不是证明不了还嘴硬的表现吗？”

　　“人们一般都会这么想。——不过费马可是17世纪顶尖的数学家啊。”

　　“咦？哥哥，这本书里说费马是‘业余人士’啊！”尤里把她正在看的书拿给我看。

　　“那是因为费马并没有把数学家作为职业。在他生活的年代，专业的数学家很少。费马是一名律师，出于个人兴趣，利用闲暇时间研究数学。不过，这本书中把研究出当时最先进的数学的人称为主‘业余人士’，会引人误会的……费马在数学书的空白处写下了好些问题，没想到这些问题成了‘超越时空的题集’。后世的数学家们虽然渐渐解开了费马遗留的问题，但还剩下一个问题，谁都没能把它解开。”

　　“那就是‘费马大定理’吗？”

　　“对。”

　　“因为留到了最后，所以又叫最后定理（费马大定理又称‘费马最后定理’。——译者注）。游戏关底最后的大魔王啊。”

　　“费马于1637年左右留下这个问题，而怀尔斯于1994年才提交论文证明它。经过怀尔斯的证明，费马大定理才真正成为了定理。”

　　“成为了定理是怎么回事？”

　　“不能被证明，就无法称之为定理。虽然费马主张‘当n≥3时，x?+y?=z?没有自然数解’，但却没留下证明过程。数学领域的主张，也就是我们所说的命题，未经证明的话只不过是猜想而已。在‘费马大定理’得到证明以前，应该称它为‘费马猜想’才对。”

　　“喔……这样啊。哥哥，我还有个问题。这里列出了费马大定理的证明时间表……”尤里翻开书。

　　“费马大定理”的证明时间表

　　1640年

　　FLT(4)

　　由费马证明

　　1753年

　　FLT(3)

　　由欧拉证明

　　1825年

　　FLT(5)

　　由狄利克雷和勒让德证明

　　1832年

　　FLT(14)

　　由狄利克雷证明

　　1839年

　　FLT(7)

　　由拉梅证明

　　“这里写的 FLT(3) 和 FLT(4) 是什么？”

　　“FLT 是 Fermat's Last Theorem（费马大定理）的首字母略称。费马的方程式中出现了n这个变量对吧。”

　　x?+y?=z?

　　“嗯。”

　　“费马大定理指的是，在

　　n=3,4,5,6,7,…

　　中，对于任意n，都不存在满足方程

　　x?+y?=z?

　　的一组自然数(x,y,z)。就是这么个定理。”

　　“嗯，然后呢？”

　　“虽然费马大定理涉及了所有大于等于3的n，但是 FLT(3) 指的是单独涉及n=3这个情况的命题。也就是说，FLT(3) 所指的命题是‘不存在满足方程 x3+y3=z3 的一组自然数(x,y,z)’。”

　　

　　“哦，我知道了。——咦？表上缺 FLT(6) 啊！”

　　“尤里真棒，没有一下带过，而是认真地确认了内容呢。”

　　“喵呼……都说了人家会害羞的！”

　　“证明了 FLT(6) 的是欧拉啊。”

　　“诶？但是欧拉证明的不是 FLT(3) 吗？”

　　“能证明 FLT(3) 也证明了 FLT(6) 啊。”

　　“诶？为什么啊？”

　　“那我们来证明‘如果方程式 x3+y3=z3 不存在自然数解，那么方程 x6+y6=z6 也不存在自然数解’这个命题吧。”

　　“人家也能明白这么难的证明吗？”

　　“能明白的，我们用反证法。”

　　◎   ◎   ◎

　　我们用反证法。作为前提，我们假设已经证明了“方程式 x3+y3=z3 不存在自然数解”。

　　我们要证明的命题是“方程式 x6+y6=z6 不存在自然数解”。反证法的假设就是否定这个命题。

　　反证法的假设：“方程式 x6+y6=z6 存在自然数解。”

　　然后，我们将自然数解(x,y,z)替换成(a,b,c)。虽然实际上并不存在(a,b,c)这三个数字，但我们要研究的是，如果这三个数字存在，那么我们能推导出什么。然后我们就期待找到矛盾吧。这就是反证法。

　　那么，由(a,b,c)的定义可知，下面等式成立。

　　x6+y6=z6

　　这个等式可以像下面这样变形。

　　

　　要说为什么，因为x6=(x2)3。要凑出6次方，就用2次方的3次方就可以了。这就是指数运算法则。接下来我们定义自然数A，B，C，如下所示。

　　(A,B,C)=(a2,b2,c2)

　　这样一来……

　　

　　也就是说，(A,B,C)是方程式 x3+y3=z3 的自然数解。

　　推导出的命题：“方程式 x3+y3=z3 存在自然数解。”

　　话说回来，作为我们谈论的出发点，我们是以 FLT(3) 为前提的。

　　前提：“方程式 x3+y3=z3 不存在自然数解。”

　　这就矛盾了吧。因此我们根据反证法，否定了反证法的假设。这样，我们就证明了“方程式 x6+y6=z6 不存在自然数解”。

　　◎   ◎   ◎

　　“原来发此，也就是说，如果 x6+y6=z6 存在自然数解，那么就能由这个结论推出 x3+y3=z3 的自然数解喽？”

　　“没错，刚才的内容还能推广到一般的情况，也就是说，想证明当 n≥5 时 FLT(n) 成立的时候，没必要一个个去证明所有的n。只要证胆当质数p=5,7,11,13……时，FLT(p)成立就可以了哦。”

　　“诶？只要证明质数就行了啊。咦？要是这样的话狄利克雷为什么还要证明 FLT(14) 呢？因为14等于7×2，所以14不是质数啊……先证明 FLT(7) 不是更好吗？”

　　“尤里……确实可能是这样，不过狄利克雷肯定没能证明 FLT(7) 啊……”

　　“啊，这样啊。”尤里耸了耸肩，“话说回来，数学家们还真能想啊，哥哥。感觉这种天衣无缝的理论好舒服啊，怎么说呢，这种没有退路的感觉……让人兴奋得颤抖！就像推理电视剧似的。数学这东西，竟然能用严谨的逻辑来处理……嗯，嘿咻……”

　　尤里抬起纤细的手臂，向上伸了个懒腰，简直就像只苗条的猫咪。

　　“不过啊，尤里。数学应该不只是这样。在追寻到严谨的逻辑之前，有时也会在森林中迷路哦。”

　　“诶，是这样啊。数学家不就是那种绝对不会犯错的好学生吗？”

　　“数学家在思考的过程中也会犯很多的错误。当然，最后完成的论文有错就麻烦了……”

　　“这么说来，尤里你在考试的时候有过计算错误吗？”

　　“计算错误基本没有，不过经常有不能一下子解开问题的时候。因为人家笨啊。”

　　“才不是呢，尤里。”我说，“都说了你不笨。我……不，哥哥我啊，知道尤里不笨，所以你准说这种话。尤里很聪明的哦。”

　　“哥哥……”

　　“尤里很聪明哦……真的是一只聪明的小猫女哦。”

　　“人家正感动呢，别逗人家笑喵！”

附：费马大理定证明过程

　　对费马方程x^n+y^n=z^n整数解关系的证明,多年来在数学界一直颇多争议.本文利用平面几何方法,全面分析了直角三角形边长a^2+b^2=c^2整数解的存在条件,提出对多元代数式应用增元求值.本文给出的直角三角型边长a^2+b^2=c^2整数解的“定a计算法则”；“增比计算法则”；“定差公式法则”；“a值奇偶数列法则”；是平方整数解的代数条件和实践方法；本文提出建立了一元代数式的绝对方幂式与绝对非方幂式概念；本文利用同方幂数增比性质,利用整数方幂数增项差公式性质,把费马方程x^n+y^n=z^n原本三元高次不定方程的整数解判定问题,巧妙地化为了一元定解方程问题. 
　　关键词：增元求解法 绝对方幂式绝对非方幂式 相邻整数方幂数增项差公式 
　　引言：1621年,法国数学家费马（Fermat）在读看古希腊数学家丢番图（Diophantna）著写的算术学一书时,针对书中提到的直角三角形三边整数关系,提出了方程x^n+y^n=z^n在n=2时有无穷多组整数解,在n＞2时永远没有整数解的观点.并声称自己当时进行了绝妙的证明.这就是被后世人称为费马大定理的旷世难题.时至今日,此问题的解答仍繁难冗长,纷争不断,令人莫衷一是. 
　　本文利用直角三角形、正方形的边长与面积的相互关系,建立了费马方程平方整数解新的直观简洁的理论与实践方法,本文利用同方幂数增比定理,对费马方程x^n+y^n=z^n在指数n＞2时的整数解关系进行了分析论证,用代数方法再现了费马当年的绝妙证明. 
　　定义1．费马方程 
　　人们习惯上称x^n+y^n=z^n关系为费马方程,它的深层意义是指：在指数n值取定后,其x、y、z均为整数. 
　　在直角三角形边长中,经常得到a、b、c均为整数关系,例如直角三角形 3 、4、 5 ,这时由勾股弦定理可以得到3^2+4^2=5^2,所以在方次数为2时,费马方程与勾股弦定理同阶.当指数大于2时,费马方程整数解之研究,从欧拉到狄里克莱,已经成为很大的一门数学分支. 
　　定义2．增元求解法 
　　在多元代数式的求值计算中引入原计算项元以外的未知数项元加入,使其构成等式关系并参与求值运算.我们把利用增加未知数项元来实现对多元代数式求值的方法,叫增元求解法. 
　　利用增元求解法进行多元代数式求值,有时能把非常复杂的问题变得极其简单. 
　　下面,我们将利用增元求解法来实现对直角三角形三边a^2+b^2=c^2整数解关系的求值. 
　　一,直角三角形边长a^2+b^2=c^2整数解的“定a计算法则” 
　　定理1．如a、b、c分别是直角三角形的三边,Q是增元项,且Q≥1,满足条件： 
　　a≥3 
　　{ b=（a^2-Q^2）÷2Q 
　　c= Q+b 
　　则此时,a^2+b^2=c^2是整数解； 
　　证：在正方形面积关系中,由边长为a得到面积为a^2,若（a^2-Q^2）÷2Q=b（其中Q为增元项,且b、Q是整数）,则可把面积a^2分解为a^2=Q^2+Qb+Qb,把分解关系按下列关系重新组合后可得到图形： 
　　Q2 Qb 
　　其缺口刚好是一个边长为b的正方形.补足缺口面积b^2后可得到一个边长 
　　Qb 
　　为Q+b的正方形,现取Q+b=c,根据直角三角形边长关系的勾股弦定理a^2+b^2=c^2条件可知,此时的a、b、c是直角三角形的三个整数边长. 
　　故定理1得证 
　　应用例子： 
　　例1． 利用定a计算法则求直角三角形a边为15时的边长平方整数解? 
　　取 应用例子：a为15,选增元项Q为1,根据定a计算法则得到： 
　　a= 15 
　　{ b=（a^2- Q^2）÷2Q=（15^2-1^2）÷2 =112 
　　c=Q+b=1+112=113 
　　所以得到平方整数解15^2+112^2=113^2 
　　再取a为15,选增元项Q为3,根据定a计算法则得到： 
　　a= 15 
　　{ b=（a^2-Q^2）÷2Q=（15^2-3^2）÷6=36 
　　c=Q+b=3+36=39 
　　所以得到平方整数解15^2+36^2=39^2 
　　定a计算法则,当取a=3、4、5、6、7 … 时,通过Q的不同取值,将函盖全部平方整数解. 
　　二,直角三角形边长a^2+b^2=c^2整数解“增比计算法则” 
　　定理2．如a^2+b^2=c^2 是直角三角形边长的一组整数解,则有（an）^2+（bn）^2 =（cn）^2（其中n=1、2、3…）都是整数解. 
　　证：由勾股弦定理,凡a^2+b^2=c^2是整数解必得到一个边长都为整数的直角三角形 a c ,根据平面线段等比放大的原理,三角形等比放大得到 2a 2c； 
　　b 2b 
　　3a 3c；4a 4c；… 由a、b、c为整数条件可知,2a、2b、2c； 
　　3b 4b 
　　3a、3b、3c；4a、4b、4c… na、nb、nc都是整数. 
　　故定理2得证 
　　应用例子： 
　　例2．证明303^2+404^2=505^2是整数解? 
　　解；由直角三角形3 5 得到3^2+4^2=5^2是整数解,根据增比计 
　　4 
　　算法则,以直角三角形 3×101 5×101 关系为边长时,必有 
　　4×101 
　　303^2+404^2=505^2是整数解. 
　　三,直角三角形边长a^2+b^2=c^2整数解“定差公式法则” 
　　3a + 2c + n = a1 
　　（这里n=b-a之差,n=1、2、3…） 
　　定理3．若直角三角形a^2+^b2=c^2是满足b-a=n关系的整数解,那么,利用以上3a+2c+ n = a1公式连求得到的a1、a2、a3…ai 所组成的平方数组ai^2+bi^2=ci^2都是具有b-a=n之定差关系的整数解. 
　　证：取n为1,由直角三角形三边3、4、5得到3^2+4^2=5^2,这里n=b-a=4-3=1,根据 3a + 2c + 1= a1定差公式法则有： 
　　a1=3×3+2×5+1=20 这时得到 
　　20^2+21^2=29^2 继续利用公式计算得到： 
　　a2=3×20+2×29+1=119 这时得到 
　　119^2+120^2=169^2 继续利用公式计算得到 
　　a3=3×119+2×169+1=696 这时得到 
　　696^2+697^2=985^2 
　　… 
　　故定差为1关系成立 
　　现取n为7,我们有直角三角形21^2+28^2=35^2,这里n=28-21=7,根据 3a + 2c + 7 = a1定差公式法则有： 
　　a1=3×21+2×35+7=140 这时得到 
　　140^2+147^2=203^2 继续利用公式计算得到： 
　　a2=3×140+2×203+7=833 这时得到 
　　833^2+840^2=1183^2 继续利用公式计算得到： 
　　a3=3×833+2×1183+7=4872 这时得到 
　　4872^2+4879^2=6895^2 
　　… 
　　故定差为7关系成立 
　　再取n为129,我们有直角三角形387^2+516^2=645^2,这里n=516-387=129,根据 3a + 2c + 129= a1定差公式法则有： 
　　a1=3×387+2×645+129=2580 这时得到 
　　2580^2+2709^2=3741^2 继续利用公式计算得到： 
　　a2=3×2580+2×3741+129=15351 这时得到 
　　15351^2+15480^2=21801^2 继续利用公式计算得到： 
　　a3=3×15351+2×21801+129=89784 这时得到 
　　89784^2+89913^2=127065^2 
　　… 
　　故定差为129关系成立 
　　故定差n计算法则成立 
　　故定理3得证 
　　四,平方整数解a^2+^b2=c^2的a值奇偶数列法则： 
　　定理4． 如a^2+^b2=c^2是直角三角形的三个整数边长,则必有如下a值的奇数列、偶数列关系成立； 
　　（一） 奇数列a： 
　　若a表为2n+1型奇数（n=1、2、3 …）, 则a为奇数列平方整数解的关系是： 
　　a=2n+1 
　　{ c=n^2+（n+1）^2 
　　b=c-1 
　　证：由本式条件分别取n=1、2、3 … 时得到： 
　　3^2+4^2=5^2 
　　5^2+12^2=13^2 
　　7^2+24^2=25^2 
　　9^2+40^2=41^2 
　　11^2+60^2=61^2 
　　13^2+84^2=85^2 
　　… 
　　故得到奇数列a关系成立 
　　（二）偶数列a： 
　　若a表为2n+2型偶数（n=1、2、3 …）, 则a为偶数列平方整数解的关系是： 
　　a=2n+2 
　　{ c=1+（n+1）^2 
　　b=c-2 
　　证：由本式条件分别取n=1、2、3 … 时得到： 
　　4^2+3^2=5^2 
　　6^2+8^2=10^2 
　　8^2+15^2=17^2 
　　10^2+24^2=26^2 
　　12^2+35^2=37^2 
　　14^2+48^2=50^2 
　　… 
　　故得到偶数列a关系成立 
　　故定理4关系成立 
　　由此得到,在直角三角形a、b、c三边中： 
　　b-a之差可为1、2、3… 
　　a-b之差可为1、2、3… 
　　c-a之差可为1、2、3… 
　　c-b之差可为1、2、3… 
　　定差平方整数解有无穷多种； 
　　每种定差平方整数解有无穷多个. 
　　以上,我们给出了平方整数解的代数条件和实践方法.我们同样能够用代数方法证明,费马方程x^n+y^n=z^n在指数n＞2时没有整数解.证明如下： 
　　我们首先证明,增比计算法则在任意方次幂时都成立. 
　　定理5,若a,b,c都是大于0的不同整数,m是大于1的整数,如有a^m+b^m=c^m+d^m+e^m同方幂关系成立,则a,b,c,d,e增比后,同方幂关系仍成立. 
　　证：在定理原式 a^m+b^m=c^m+d^m+e^m中,取增比为n,n＞1, 
　　得到 ： （n a）^m+（nb）^m=（nc）^m+（nd）^m+（ne）^m 
　　原式化为 ： n^m（a^m+b^m）=n^m（c^m+d^m+e^m） 
　　两边消掉 n^m后得到原式. 
　　所以,同方幂数和差式之间存在增比计算法则,增比后仍是同方幂数. 
　　故定理5得证 
　　定理6,若a,b,c是不同整数且有a^m+b=c^m关系成立,其中b＞1,b不是a,c的同方幂数,当a,b,c同比增大后,b仍然不是a,c的同方幂数. 
　　证：取定理原式a^m+b=c^m 
　　取增比为n,n＞1,得到：（na）^m+n^mb=（nc）^m 
　　原式化为： n^m（a^m+b）=n^mc^m 
　　两边消掉n^m后得到原式. 
　　由于b不能化为a,c的同方幂数,所以n^mb也不能化为a,c的同方幂数. 
　　所以,同方幂数和差式间含有的不是同方幂数的数项在共同增比后,等式关系仍然成立.其中的同方幂数数项在增比后仍然是同方幂数,不是同方幂数的数项在增比后仍然是非同方幂数. 
　　故定理6得证 
　　一元代数式的绝对方幂与绝对非方幂性质 
　　定义3,绝对某次方幂式 
　　在含有一元未知数的代数式中,若未知数取值为大于0的全体整数时,代数式的值都是某次完全方幂数,我们称这时的代数式为绝对某次方幂式.例如：n^2+2n+1,n^2+4n+4, 
　　n^2+6n+9,……都是绝对2次方幂式；而n^3+3n^2+3n+1,n^3+6n^2+12n+8,……都是绝对3次方幂式. 
　　一元绝对某次方幂式的一般形式为（n+b）^m（m＞1,b为常数项）的展开项. 
　　定义4,绝对非某次方幂式 
　　在含有一元未知数的代数式中,若未知数取值为大于0的全体整数时,代数式的值都不是某次完全方幂数,我们称这时的代数式为绝对非某次方幂式.例如：n^2+1,n^2+2,n^2+2n,…… 都是绝对非2次方幂式；而n^3+1,n^3+3n^2+1,n^3+3n+1,3n^2+3n+1,n^3+6n^2+8……都是绝对非3次方幂式. 
　　当一元代数式的项数很少时,我们很容易确定代数式是否绝对非某次方幂式,例如n^2+n是绝对非2次方幂式,n^7+n是绝对非7次方幂式,但当代数式的项数很多时,得到绝对非某次方幂式的条件将越来越苛刻. 
　　一元绝对非某次方幂式的一般形式为：在（n+b）^m（m＞2,b为常数项）的展开项中减除其中某一项. 
　　推理：不是绝对m次方幂式和绝对非m次方幂式的方幂代数式必定在未知数取某一值时得出一个完全m次方数.例如：3n^2+4n+1不是绝对非3次方幂式,取n=1时有3n^2+4n+1=8=2^3,3n^2+3n+1不是绝对非2次方幂式,当n=7时,3n^2+3n+1=169=13^2; 
　　推理：不含方幂项的一元代数式对任何方幂没有唯一性.2n+1=9=3^2,2n+1=49=7^2 …… 4n+4=64=8^2,4n+4=256=16^2 ……2n+1=27=3^3,2n+1=125=5^3 …… 
　　证明：一元代数式存在m次绝对非方幂式； 
　　在一元代数式中,未知数的不同取值,代数式将得到不同的计算结果.未知数与代式计算结果间的对应关系是唯一的,是等式可逆的,是纯粹的定解关系.这就是一元代数式的代数公理.即可由代入未知数值的办法对代数式求值,又可在给定代数式数值的条件下反过来对未知数求值.利用一元代数式的这些性质,我们可实现整数的奇偶分类、余数分类和方幂分类. 
　　当常数项为1时,完全立方数一元代数表达式的4项式的固定形式是（n+1）^3=n^3+3n^2+3n+1,它一共由包括2个方幂项在内的4个单项项元组成,对这个代数式中3个未知数项中任意一项的改动和缺失,代数式都无法得出完全立方数.在保留常数项的前提下,我们锁定其中的任意3项,则可得到必定含有方幂项的3个不同的一元代数式,n^3+3n^2+1,n^3+3n+1,3n^2+3n+1,对这3个代数式来说,使代数式的值成为立方数只能有唯一一个解,即补上缺失的第4项值,而且这个缺失项不取不行,取其它项值也不行.因为这些代数式与原立方代数式形成了固定的单项定差代数关系,这种代数关系的存在与未知数取值无关.这种关系是： 
　　（n+1）^3-3n= n^3+3n^2+1 
　　（n+1）^3-3n^2= n^3+3n+1 
　　（n+1）^3-n^3=3n^2+3n+1 
　　所以得到：当取n=1、2、3、4、5 … 
　　n^3+3n^2+1≠（n+1）^3 
　　n^3+3n+1≠（n+1）^3 
　　3n2+3n+1≠（n+1）^^3 
　　即这3个代数式的值都不能等于（n+1）^3形完全立方数. 
　　当取n=1、2、3、4、5 …时,（n+1）^3=n^3+3n^2+3n+1的值是从2开始的全体整数的立方,而 小于2的整数只有1,1^3=1,当取n=1时, 
　　n^3+3n^2+1=5≠1 
　　n^3+3n+1=5≠1 
　　3n^2+3n+1=7≠1 
　　所以得到：当取n=1、2、3、4、5 …时,代数式n^3+3n^2+1,n^3+3n+1,3n^2+3n+1的值不等于全体整数的立方数.这些代数式是3次绝对非方幂式. 
　　由以上方法我们能够证明一元代数式：n^4+4n^3+6n^2+1,n^4+4n^3+4n+1,n^4+6n^2+4n+1,4n^3+6n^2+4n+1,在取n=1、2、3、4、5 …时的值永远不是完全4次方数.这些代数式是4次绝对非方幂式. 
　　能够证明5次方以上的一元代数式（n+1）^m的展开项在保留常数项的前提下,锁定其中的任意m项后,可得到m个不同的一元代数式,这m个不同的一元代数式在取n=1、2、3、4、5 …时的值永远不是完全m次方数.这些代数式是m次绝对非方幂式. 
　　现在我们用代数方法给出相邻两整数n与n+1的方幂数增项差公式； 
　　2次方时有：（n+1）^2-n^2 
　　=n^2+2n+1-n^2 
　　=2n+1 
　　所以,2次方相邻整数的平方数的增项差公式为2n+1. 
　　由于2n+1不含有方幂关系,而所有奇数的幂方都可表为2n+1,所以,当2n+1为完全平方数时,必然存在n^2+（2√2n+1）^2=（n+1）^2即z-x=1之平方整数解关系,应用增比计算法则,我们即可得到z-x=2,z-x=3,z-x=4,z-x=5……之平方整数解关系.但z-x＞1的xyz互素的平方整数解不能由增比法则得出,求得这些平方整数解的方法是： 
　　由（n+2）^2-n^2=4n+4为完全平方数时得出全部z-x=2的平方整数解后增比； 
　　由（n+3）^2-n^2=6n+9为完全平方数时得出全部z-x=3的平方整数解后增比； 
　　由（n+4）^2-n^2=8n+16为完全平方数时得出全部z-x=4的平方整数解后增比； 
　　…… 
　　这种常数项的增加关系适合于全体整数,当取n=1、2、3 … 时,我们可得到整数中全部平方整数解. 
　　所以费马方程x^n+y^n=z^n在指数为2时成立. 
　　同时,由于所有奇数的幂方都可表为2n+1及某些偶数的幂方可表为4n+4,6n+9,8n+16 …… 所以,还必有x^2+y^n=z^2整数解关系成立. 
　　3次方时有：（n+1）^3-n^3 
　　=n^3+3n^2+3n+1-n^3 
　　=3n^2+3n+1 
　　所以,3次方相邻整数的立方数的增项差公式为3n^2+3n+1. 
　　由于3n^2+3n+1是（n+1）^3的缺项公式,它仍然含有幂方关系,是3次绝对非方幂式.所以,n为任何整数时3n^2+3n+1的值都不是完全立方数,因而整数间不存在n^3+（3√3n^2+3n+1 ）^3=（n+1）^3即z-x=1之立方整数解关系,由增比计算法则可知,也不存在z-x=2,z-x=3,z-x=4,z-x=5……之立方整数解关系.但z-x＞1的xyz互素的费马方程式不能由增比法则表出,表出这些立方费马方程式的方法是： 
　　由（n+2）^3-n^3=6n2+12n+8,所以,n为任何整数它的值都不是完全立方数； 
　　由（n+3）^3-n^3=9n2+27n+27,所以,n为任何整数它的值都不是完全立方数； 
　　由（n+4）^3-n^3=12n2+48n+64,所以,n为任何整数它的值都不是完全立方数； 
　　…… 
　　这种常数项的增加关系适合于全体整数,当取n=1、2、3 … 时,费马方程3次方关系经过增比后将覆盖全体整数. 
　　所以费马方程x^n+y^n=z^n在指数为3时无整数解. 
　　4次方时有；（n+1）^4-n^4 
　　=n^4+4n^3+6n^2+4n+1-n^4 
　　=4n^3+6n^2+4n+1 
　　所以,4次方相邻整数的4次方数的增项差公式为4n^3+6n^2+4n+1. 
　　由于4n^3+6n^2+4n+1是（n+1）^4的缺项公式,它仍然含有幂方关系,是4次绝对非方幂式.所以,n为任何整数时4n^3+6n^2+4n+1的值都不是完全4次方数,因而整数间不存在n^4+（4√4n3+6n2+4n+1）^4=（n+1）^4即z-x=1之4次方整数解关系,由增比计算法则可知,也不存在z-x=2,z-x=3,z-x=4,z-x=5……之4次方整数解关系.但z-x＞1的xyz互素的费马方程式不由增比法则表出,表出这些4次方费马方程式的方法是： 
　　由（n+1）^4-n^4=8n3+24n2+32n+16,所以,n为任何整数它的值都不是完全4次方数； 
　　由（n+1）^4-n^4=12n3+54n2+108n+81,所以,n为任何整数它的值都不是完全4次方数； 
　　由（n+1）^4-n^4=16n3+96n2+256n+256,所以,n为任何整数它的值都不是完全4次方数； 
　　…… 
　　这种常数项的增加关系适合于全体整数,当取n=1、2、3 … 时,费马方程4次方关系经过增比后将覆盖全体整数. 
　　所以费马方程x^n+y^n=z^n在指数为4时无整数解. 
　　m次方时,相邻整数的方幂数的增项差公式为： 
　　（ n+1）^m-n^m 
　　=n^m+mn^m-1+…+…+mn+1-n^m 
　　=mn^m-1+…+…+mn+1 
　　所以,m次方相邻整数的m次方数的增项差公式为mn^m-1+…+…+mn+1. 
　　由于mn^m-1+…+…+mn+1是（n+1）^m的缺项公式,它仍然含有幂方关系,是m次绝对非方幂式.所以,n为任何整数时mn^m-1+…+…+mn+1 的值都不是完全m次方数,因而整数间不存在n^m+（m√mn^m-1+…+…+mn+1）^m =（n+1）^m即z-x=1之m次方整数解关系,由增比计算法则可知,也不存在z-x=2,z-x=3,z-x=4,z-x=5……之m次方整数解关系.但z-x＞1的xyz互素的费马方程式不能由增比法则表出,表出这些m次方费马方程式的方法是： 
　　由（n+2）^m-n^m=2mn^m-1+…+…+2^m-1 mn+2^m,所以,n为任何整数它的值都不是完全m次方数； 
　　由（n+3）^m-n^m=3mn^m-1+…+…+3^m-1 mn+3^m,所以,n为任何整数它的值都不是完全m次方数； 
　　由（n+4）^m-n^m=4mn^m-1+…+…+4^m-1 mn+4^m,所以,n为任何整数它的值都不是完全m次方数； 
　　…… 
　　这种常数项的增加关系适合于全体整数,当取n=1、2、3 … 时,费马方程m次方关系经过增比后将覆盖全体整数. 
　　所以费马方程x^n+y^n=z^n在指数为m时无整数解. 
　　所以费马方程x^n+y^n=z^n在指数n＞2时永远没有整数解. 
　　费马大定理： 当整数n > 2时,关于x, y, z的不定方程 x^n + y^n = z^n. 无正整数解. 
　　费马矩阵大定理：当整数n > 2时,关于m行m列矩阵X, Y, Z的不定矩阵方程 X^n + Y^n =Z^n. 矩阵的元素中至少有一个零.当整数n = 2时,求m行m列矩阵X, Y, Z.