趣味数学史：三次数学危机

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　　第一次数学危机：无理数的出现

　　毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的着名数学家与哲学家.他曾创立了一个合政治,学术,宗教三位一体的神秘主义派别:毕达哥拉斯学派.由毕达哥拉斯提出的着名命题"万物皆数"是该学派的哲学基石.而"一切数均可表成整数或整数之比"则是这一学派的数学信仰.然而,具有戏剧性的是由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派信仰的"掘墓人".毕氏的一个学生希帕索斯考虑了这样一个问题:边长为1的正方形其对角线长度是多少呢?他发现这一长度既不能用整数,也不能用分数表示,而只能用一个新数来表示.希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数√2的诞生.

　　这小小√2的出现,却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴.它直接动摇了毕达哥斯拉学派的数学信仰,使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌.实际上,这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命冲击.对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击.这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上:任何量,再任何精确度的范围内都可以表示为有理数.这不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰,就是再今天,测量技术已经高度发展是,这个断言也毫无例外是正确的!可是为我们的经验所确信的,完全符合常识的论断居然被小小的√2的存在而推翻了!这应该是多么违反常识,多么荒谬的事!它简直把以前所知道的事情根本推翻了.更糟糕的是,面对这一荒谬,人们竟然毫无办法.这就在当时直接导致了人们认识上的危机,从而导致了西方数学史上一场大的风波,史称"第一次数学危机".

　　大约在公元前370年,才华横溢的欧多克索斯建立起一套完整的比例论.欧多克索斯的巧妙方法可以避开无理数这一"逻辑上的丑闻",并保留住与之相关的一些结论,从而解决了由无理数出现而引起的数学危机.但欧多克索斯的解决方式,是借助几何方法,通过避免直接出现无理数而实现的.这就生硬地把数和量肢解开来.在这种解决方案下,对无理数的使用只有在几何中使允许的,合法的,再代数中就是非法的,不合逻辑的.或者说无理数只被当作是附在几何量上的单纯的符号,而不被当作真正的数.一直到18世纪,当数学家证明了基本常数如圆周率是无理数时,拥护无理数存在的人才多起来.到19世纪下半叶,现在意义上的实数理论建立起来后,无理数本质被彻底搞清,无理数在数学园地中才真正扎下了根.无理数在数学中合法地位的确立,一方面是人类对数的认识从有理数拓展到实数,另一方面也真正彻底,圆满地解决了第一次数学危机.

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　　第2次数学危机：微积分的使用

　　第二次数学危机导源于微积分工具的使用.

　　伴随着人们科学理论与实践认识的提高,十七世纪几乎在同一时期,微积分这一锐利无比的数学工具为牛顿,莱布尼兹各自独立发现.这一工具已问世,就显示出它的非凡威力.许许多多疑难问题运用这一工具后变得易如反掌.但是不管牛顿,还是莱布尼斯所创立的微积分理论都是不严格的.两人的理论都建立在无穷小分析之上,但他们对作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的.因而,从微积分诞生时就遭到了一些人的反对与攻击.其中攻击最猛烈的是英国大主教贝克莱.

　　1743年,贝克莱以"渺小的哲学家"之名出版了一本标题很长的书<<分析学家>>.在这本书中,贝克莱对牛顿的理论进行了攻击,说无穷小量是"已死的幽灵".贝克莱的攻击虽说出自维护神学的目的,但却真正抓住了牛顿理论中的缺陷,是切中要害的.

　　数学史上把贝克莱的问题称之为"贝克莱悖论".笼统地说,贝克莱悖论可以表述为"无穷小量究竟是否为0"的问题:就无穷小量在当时实际应用而言,它必须既是0,又不是0.但从形式逻辑而言,这无疑是一个矛盾.这一问题的提出在当时的数学界引起了一定的混乱,由此导致了第二次数学危机的产生.

　　这一问题由法国着名数学家柯西迈出了第一大步.柯西于1821年开始出版了几本具有划时代意义的书写论文.其中给出了分析学一系列基本概念的严格定义.另外,在柯西的努力下,连续,导数,微分,积分,无穷级数的和等概念也建立在了较坚实的基础上.不过,在当时情况下,由于实数的严格理论未建立起来,所以柯西的极限理论还不能完善.

　　柯西之后,威尔士特拉斯,戴德金,康托尔各自经过自己独立深入的研究,都将分析基础归结为实数理论,并于七十年代各自建立了自己完整的实数体系.威尔士特金斯的理论课归结为递增有界数列极限存在原理:戴德金建立了有名的戴德金分割:康托尔提出用有理"基本序列"来定义无理数.1892年,另一个数学家创用"区间套原理"来建立实数理论.

　　由此,沿柯西开辟的道路,建立起来的严谨的极限理论与实数理论,完成了分析学的逻辑奠基工作.数学分析的无矛盾性问题归纳为实数论的无矛盾性,从而是微积分学这座人类数学史上空前雄伟的大厦建立在了牢固可靠的基础之上.重建微积分学基础,这项重要而困难的工作就这样经过许多杰出学者的努力而胜利完成了.微积分学坚实牢固基础的建立,就结束了数学中暂时的混乱局面,同时也宣布了第二次数学危机的彻底解决.

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　　第三次数学危机：集合的漏洞

　　十九世纪下半叶，康托尔创立了着名的集合论，在集合论刚产生时，曾遭到许多人的猛烈攻击。但不久这一开创性成果就为广大数学家所接受了，并且获得了广泛而高度的赞誉。数学家们发现，从自然数与康托尔集合论出发壳建立起整个数学大厦。因而集合论成为现代数学的基石。“一切数学成果壳建立在集合论基础上”这一发现使数学家们为之陶醉。1900年，国际数学家大会上，法国着名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣称：“......借助集合论概念，我们可以建造整个数学大厦......今天，我们可以说绝对的严格性已经达到了......”

　　可是，好景不长。1903年，一个震惊数学界的消息传出：集合论是有漏洞的！这就是英国着名数学家罗素提出的著名的罗素悖论。罗素构造了一个集合S：S由一切不是自身元素的集合所组成。然后罗素问：S是否属于S呢？根据排中律，一个元素或者属于某个集合，或者不属于某个集合。因此，对于一个给定的集合，问是否属于它自己是有意义的。但对这个看似合理的问题的回答却会陷入两难境地。如果S属于S，根据S的定义，S就不属于S；反之，如果S不属于S，同样根据定义，S就属于S。无论如何都是矛盾的。

　　其实，在罗素之前集合论中就已经发现了悖论。如1897年，布拉利和福尔蒂提出了最大序数悖论。1899年，康托尔自己发现了最大基数悖论。但是，由于这两个悖论都涉及集合中的许多复杂理论，所以只是在数学界揭起了一点小涟漪，未能引起大的注意。罗素悖论则不同，它非常浅显易懂，而且所涉及的只是集合论中最基本的东西。所以，罗素悖论一提出就在当时的数学界与逻辑学界内引起了极大震动。

　　如G.费雷格在收到罗素介绍这一悖论的信后伤心地说：“一个科学家所遇到的最不合心意的事莫过于是在他工作即将结束时，其基础崩溃了。罗素先生的一封信正好把我置于这个境地。”戴德金也因此推迟了他的《什么是数的本质和作用》一文的再版。可以说，这一悖论就像在平静的数学水面上投下了一块巨石，而它所引起的巨大反响则导致了第三次数学危机。

　　危机产生后，数学家纷纷提出自己的解决方案。人们希望能够通过对康托尔的集合论进行改造，通过对集合定义加以限制来排除悖论，这就需要建立新的原则。“这些原则必须足够狭窄，以保证排除一切矛盾；另一方面又必须充分广阔，是康托尔集合论中一切有价值的内容得以保存下来。”1908年，策梅洛在自己这一原则基础上提出第一个公理化集合论体系，后来经其他数学家改进，称为ZF系统。这一公理化集合系统在很大程度上弥补了康托尔朴素集合论的缺陷。除ZF系统外，集合论的公理系统还有多种，如诺依曼等人提出的NBG系统等。公理化集合系统的建立，成功排除了集合论中出现的悖论，从而圆满地解决了第三次数学危机。

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