数学趣味故事：哥尼斯堡七桥问题

在18世纪，东普鲁士哥尼斯堡有一条大河，河中有两个小岛。全城被大河分割成四块陆地，河上架有七座桥，把四块陆地联系起来(如图)。当时许多市民都在思索一个问题:一个散步者能否从某一陆地出发，不重复地经过每座桥一次，最后回到原来的出发地。
这就是历史上有名的哥尼斯堡七桥问题。
这个问题似乎不难解决，所以吸引了许多人来尝试，但是日复一日谁也没有得出肯定的答案。于是有人便写信求教当时著名的数学家欧拉(1707~1783)。欧拉毕竟是数学家，他并没有去重复人们已失败了多次的试验，而是产生了一种直觉的猜想:人们千百次的失败，也许意味着这样的走法根本就不存在。于是欧拉把七桥问题进行了数学的抽象。用A、B、C、D四个点表示四块陆地，用两点间的一条线表示连接两块陆地之间的一座桥，就得到如下图所示的一个由四个点和七条线组成的图形。
于是，七桥问题就转化为一个抽象图形是否可以“一笔画”的问题。什么叫“一笔画”呢?那就是笔不准离开纸，一口气画成整个图形；且每一条线只许画一次，不得重复。这样的图形能不能一笔画呢?
1736年欧拉证明了，答案是否定的。
为什么呢?
因为除了起点和终点之外，我们把其余的点称为中间点。如果一个图可以一笔画的话，对于每一个中间点来说，当画笔沿某条线到达这一点时，必定要沿另一条线离开这点，并且进入这点几次，就要离开这点几次，一进一出，两两配对，所以从这点发出的线必然要是偶数条。因此，一个图形能否一笔画就有了一个判别规则:
一个可以一笔画的图形最多只能有两个点(起点和终点)与奇数条线相连。
再看抽象图形，图中的四个点都是与奇数条(三条或五条)线相连的，根据判别规则，是不能一笔画的，从而证明了七桥问题所要求的走法是不存在的。
曾经难倒许多人的七桥问题，经过欧拉这样转化，就像哥伦布竖鸡蛋一样，简单而圆满地解决了。