统计学悖论：基诺悖论

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故事适合年级：小学二年级

【统计学悖论：基诺悖论】趣味小故事：

　　M：古希腊人设想出了很多关于时间和运动的悖论．最著名的一个是基诺关于跑步人的诡论。

　　M：基诺的跑步人作如下推理。

　　甲：在我达到终点线之前，我必须经过中点。然后．我必须跑到3/4处，它是剩下距离的—半。

　　甲：而在我跑完最后的1/4这段路之前，我必须跑到这段路的中点。因为这些中点是没有止境的，我将根本不能达到终点。

　　M：假定跑步人每跑一半要一分钟。绘出的时间—距离关系图表明他是如何越来越接近终点，而绝不会达到终点的。他的论据对吗？

　　M：不对，因为跑步人不是每跑半截都用1分钟。每跑一半所花的时间都是前一段时间的一半。他只要两分钟就可以到达终点，只不过他须通过无穷多个中点而已。

　　M：基诺设计出一条关于阿基里斯的悖论。这个战士想要捉住一公里外的一只海龟。

　　M：当阿基里斯跑到海龟原来所在点时，海龟已向前爬了10米。

　　M：但是当阿基里斯跑到10米处时，海龟又爬到前面去了。

　　海龟：你别想抓住我，老朋友。只要你一到我原先所在的地方，我就已经跑到前面一截；了，那怕这个距离比头发丝还小。

　　M：基诺当然知道阿基里斯能够捉住海龟。他不过是显浅的说明，在把时间和空间看成是由一连串的离散点组成，就像一串念珠前后相连那样时，会引起怎样令人迷惑的结果。

　　在这两个悖论中，我们必须把两个跑步人都等价地看作沿一条直线作匀速运动的点。基诺之道由A向B运动的点确实到达了B点。他这两个悖论的设计显示出，当一个人试图把直线分为若干分离的点，这些点一个个依次往下排列，同时再把时间分成前后相随又互不重叠的间隔，并以此来说明运动时，会碰到怎样的困难。

　　像我们在上一组画面中那样，仅仅说明跑步人能够到达B点，是因为他每跑一个新半截所需的时间是跑前段路时间的一半，这还不能使基诺满意。他总是答道，就如在直线上总有—个新的中点要跑到一样，时间也总有新的半刻要经过。简言之，基诺用于直线上的论点也可以用到时间的序列上来。虽说时间可以越来越接近两分钟，但总还有一段无限小的时间瞬息要通过。阿基里斯和海龟的悖论也都是一样的道理。在无穷进程中的每一步，都还有一个没完没了的“下—步”要做，在空间和时间两方面都如此。

　　很多科学的哲学家都同意罗素对基诺悖论所作的著名讨论，这发表在他的《我们对外部世界的知识》一书的第六讲中。罗素指出，基诺悖论只有到乔治·康妥之后才能有效地解答。在十九世纪建立了他的无穷集理论。康妥证明了，一条直线段上的点数（或一个有限的时间区间内的间隔），是“不可数的”，这就是说不能把它们和计数用数一一对应，如果说基诺的跑步人总有更多的点要数，那么他是数不完的，跑步人也就到不了终点。可那些点是不可数的。学生们如果想更多地了解基诺悖论的旨趣，最好是参考韦斯勒·C·萨蒙编辑的一个平装文集：《基诺悖论集》。

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