线面垂直的判定定理

如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，就说这条直线与此平面互相垂直。判定定理：如果一条直线与平面内两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直。

如图，l与α内两条相交直线a，b都垂直，求证：l⊥α

证明：与a或b平行的直线必垂直l，因此接下来的讨论围绕与a，b不平行的直线进行。

先将a，b，l平移至相交于O点，过O作任意一条直线g，在g上取异于O的点G，过G作GB∥a交b于B，过G作GA∥b交a于A。连接AB，设AB与OG交点为C

∵OA∥GB,OB∥GA

∴四边形OAGB是平行四边形

∴C是AB中点

由中线定理，OA²+OB²=2OC²+2AC²

在l上取异于O的点D，连接DA,DB，由中线定理

DA²+DB²=2DC²+2AC²

两式相减可得

DA²-OA²+DB²-DB²=2DC²-2OC²

又注意到OD⊥OA,OD⊥OB

∴得OD²+OD²=2DC²-2DC²

即CD²=OD²+OC²

∴OD⊥OC

由g的任意性可知，l与α内任意直线都垂直

∴l⊥α

免费下载：微信扫码关注网站官方公众号【中小学趣味数学 qwshuxue】

1、回复 “101”免费领取《【小学奥数】学er思内部题库word可打印》
2、回复 “102”免费领取《【记忆力教程】快速高效学习教程》
3、回复 “103”免费领取《一分钟速算教程》
4、回复 “104”免费领取《Top 32经典英文启蒙绘本PDF+MP3》
5、回复 “105”免费领取《儿童英语绘本195本【PDF版】》
6、回复 “106、107、108”免费领取《更多神秘礼物……》