趣味数学故事：三个臭皮匠胜似一个诸葛亮

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故事适合年级：小学二年级

【趣味数学故事：三个臭皮匠胜似一个诸葛亮】趣味小故事：

　　常言道：“三个臭皮匠胜似一个诸葛亮。”今天我们就用概率的理论，定量地对它进行证明。

　　首先介绍两事件的独立性概念：如果一个事件发生与否对另一个事件的发生的概率没有影响，我们就说这两个事件是互相独立的。例如甲气象台和乙气象台预报天气，这两件事，便是独立的；又如，某地患肺炎病与患砂眼病，这两件事是互相独立的；再如，两次射击，第一次击中目标与第二次击中目标，也是互相独立的。假定我们用AB 表示事件A 与事件B 同时发生，那么，当事件A 与B 互相独立时，我们有：

　　P（AB）＝P（A）·P（A）

　　对于三个以上的两两独立事件，类似地我们有：P（AB⋯C）＝P（A）·P（B）⋯⋯P（C）

　　现在回到三个“臭皮匠”的问题。假定“臭皮匠”A 独立解决问题的概率为P（A）；“臭皮匠”B 独立解决问题的概率为P（B）；“臭皮匠”C 独立解决问题的概率为P（C）。

　　如若“臭皮匠”只有两个，那么某一问题能被两者之一解决的可能性有多大呢？

　　让我们仍从图形的分析开始吧！为方便起见，右图中我们用阴影区域的面积，表示相应事件的概率，如图所标。那么，从上下两图我们立即看到：

　　P（A 或B）＝P（A）＋ P（B）-P（AB）

　　因为“臭皮匠”们思考问题时是彼此独立的。这样，我们又有：

　　P（A 或B）＝P（A）＋P（B）-P（A）·P（B）

　　类似地便能够得到一个问题被三个“臭皮匠”之一解决的概率的计算式：

　　P（A 或B 或C）＝P（A）＋P（B）＋P（C）-P（A）P（B）-P（B）P（C）-P（C）P（A）＋ P（A）P（B）P（C）

　　例如： P（A）=0.45， P（B）＝0.55， P（C）＝0.60，即三人的解题把握都大致只有一半，但当他们总体解题时，能被三人之一解出的可能为：

　　P（A 或B 或C） ＝0.45＋0.55＋0.60-0.45×0.55-0.55×0.60×0.45＋0.45×0.55×0.60＝0.901

　　看！三个并不聪明的“臭皮匠”居然能够解出百分之九十以上的问题，聪明的“诸葛亮”也不过如此！

　　上面我们是从“臭皮匠”们解决问题的角度来分析的。如果我们换另一个角度来分析，所得的结果将更简捷、更精辟。事实上，如果一事件出现的概率为P，那么该事件不出现的概率必定为（1-P）。这样，三个“臭皮匠”同时不能解决问题的概率为[1-P（A）][1-P（B）][1-P（C）]。把全部可能的1，减去同时不能解决的可能性，当然就得到三者至少有一人解决的可能性，即：P（A 或B 或C）＝1-[1-P（A）][1-P（B）][1-P（C）]上式展开的结果跟前面的公式是一样的，但保留上面算式在计算上要简单得多。如上例：

　　P（A 或B 或C） ＝1-（0.45）·（1-0.55）·（1-0.60）＝1-0.55×0.45×0.40＝0.901

　　又当“臭皮匠”人数增多时，前一种算法将不胜其繁，而后一种算法无须什么变动依然适用。

　　例如，十个刚参加军训的学生，每人打靶的命中率都只有0.3，这样的命中率应该说是低的了。但如若他们朝同一个目标射击，那么据上面的式子，目标被击中的概率为：

　　也就是说，目标是几乎会被击中的。可见人多不仅智慧高，而且力量也大。“三个臭皮匠胜似一个诸葛亮”所言实不过份。

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