费尔马光行最速原理

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故事适合年级：小学二年级

【费尔马光行最速原理】趣味小故事：

　　费尔马不仅是位数学家，他在物理学中也有所建树，“光行最速原理”就是由他发现的。由此我们可以解下列问题：由光源A射出的光线，经平面镜MN反射后照到点B，求光走过的路线。

　　解：作A关于MN的对称点A′，连A′B交MN于点P，则光线将由A射到P，经反射后到B，这条路线是“最短路线”。实际上，对MN上任一非P的点P，都有AP′+P′B=AP′+P′B＞A′B=AP+PB。即这条路线最短。

　　由此可得到物理学中的反射定律：光经平面镜反射时，入射角等于反射角，在图1中，取P点处法线PQ，则有∠1=∠2。

　　在△ABC中，AD、BE、CF分别为三边上的高，△DEF称为△ABC的垂足三角形，可以证明△ABC的重心H是△DEF的内心（图2）。

　　实际上，由∠BEA=∠BDA=90°，知B、D、E、A共圆，于是∠CDE=∠BAC。同样，由A、F、D、C共圆，可知∠BDF=∠BAC，于是∠CDE=∠BDF。从而可知DA平分∠EDF。

　　同理FC平分∠DFE，EB平分∠DEF。故H是△DEF的内心。

　　如作D关于AB的对称点D1，可知∠DFB=∠D1FB＝∠AFE，于是，D1、F、E在一直线上。同样可知，D关于AC的对称点D2也在直线EF上，即D1、F、E、D2四点在一条直线上。

　　现在，我们来看由法格拉洛提出的一个问题：在△ABC的每条边上各取一点D、E、F，△DEF称为△ABC的内接三角形。试在锐角三角形ABC的所有内接三角形中，求周长最短的三角形。

　　费尔马提出了一种解法，这个解法分成三步来解：

　　（1）设D是BC上固定点，求此时的周长最短的内接三角形。

　　作D关于AB、AC的对称点D1、D2，连D1D2交AB、AC于E、F，则△DEF为所求。实际上，对于△ABC的任一内接△DE′F′，有

　　DE′+E′F′+F′D=D1E′+E′F′+F′D2

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