数学趣味故事：趣味数学之神奇的几何

接触过几何以后，大家一定会更加能够感受到数学的乐趣，比如一个始终向上或向下却走不到尽头的阶梯，只拥有一个曲面的纸袋圈，没有内外之分的瓶子。是不是觉得不可思议呢？数学就是这么神奇，接下来我们就去看看这些神奇的几何图形吧。
彭罗斯阶梯 (Penrose stairs)是一个有名的几何学悖论，指的是一个始终向上或向下但却走不到头的阶梯，可以被视为彭罗斯三角形的一个变体，在此阶梯上永远无法找到最高的一点或者最低的一点。彭罗斯阶梯由英国数学家罗杰•彭罗斯及其父亲遗传学家列昂尼德•彭罗斯于 1958年提出。
彭罗斯阶梯不可能在三维空间内存在，但只要放入更高阶的空间，彭罗斯阶梯就可以很容易的实现。
公元 1858年，德国数学家莫比乌斯 (Mobius， 1790～ 1868)和约翰•李斯丁发现：把一根纸条扭转 180°后，两头再粘接起来做成的纸带圈，具有魔术般的性质。普通纸带具有两个面 (即双侧曲面 )，一个正面，一个反面，两个面可以涂成不同的颜色 ;而这样的纸带只有一个面 (即单侧曲面 )，一只小虫可以爬遍整个曲面而不必跨过它的边缘。这种纸带被称为“莫比乌斯带” (也就是说，它的曲面只有一个 )。
莫比乌斯带还有更为奇异的特性。
一些在平面上无法解决的问题，却不可思议地在莫比乌斯带上获得了解决。比如在普通空间无法实现的 "手套易位 "问题：人左右两手的手套虽然极为相像，但却有着本质的不同。我们不可能把左手的手套贴切地戴到右手上去 ;也不能把右手的手套贴切地戴到左手上来。无论你怎么扭来转去，左手套永远是左手套，右手套也永远是右手套 !不过，倘若你把它搬到莫比乌斯带上来，那么解决起来就易如反掌了。
在数学领域中，克莱因瓶 (Klein bottle)是指一种无定向性的平面，比如二维平面，就没有“内部”和“外部”之分。在拓扑学中，克莱因瓶 (Klein Bottle)是一个不可定向的拓扑空间。克莱因瓶最初由德国几何学大家菲立克斯•克莱因 (Felix Klein) 提出。在 1882年，著名数学家菲立克斯•克莱因 (Felix Klein) 发现了后来以他的名字命名的著名“瓶子”。克莱因瓶的结构可表述为：一个瓶子底部有一个洞，现在延长瓶子的颈部，并且扭曲地进入瓶子内部，然后和顶部的洞相连接。和我们平时用来喝水的杯子不一样，这个物体没有“边”，它的表面不会终结。它和球面不同 ，一只苍蝇可以从瓶子的内部直接飞到外部而不用穿过表面 (即它没有内外之分 )。