数学是数学家的墓志铭

　　丢番图

　　“他生命的六分之一是幸福的童年；再活了他的生命的十二分之一，两颊长起了细细的胡子；他结了婚，又度过了一生的七分之一；再过五年，他有了儿子，感到很幸福；可是儿子只活了他全部年龄的一半；儿子死后,他在极度悲痛中度过了四年，也与世长辞了。”

　　这是一道小学水平的应用题，但如果倒退两千多年，它无疑属于难题。正是这段话，传说被刻在了古希腊数学家丢番图的墓碑上。

　　丢番图被誉为代数学之父，著有《算术》一书，他对一次方程和二次方程做了深入的研究，其中还包括大量的不定方程。在现代，对于整数系数的不定方程，如果只考虑其整数解，那就把这类方程叫做丢番图方程——因为这基本上正是丢番图当年所研究的内容。古希腊数学家们崇尚几何，认为所有的代数问题只有在一个几何背景下才有意义。丢番图将代数解放了出来，使之成为独立的学科，而且引入了未知数的概念——他的墓志铭就是一道经典的解方程的题目。而那段话既是丢番图一生仅有的传记，也是对他一生成就的最高概括和褒奖。

　　丢番图的工作在后人的努力下，得到了极大的扩充和发展。 20 世纪最牛数学家希尔伯特在 1900 年数学家大会上提出了 23 个著名的问题，其中的第十个就与丢番图方程密切相关。

　　一个方程最基本的特征之一就是它是否有解，丢番图方程也不例外。例如经典的勾股定理对应的丢番图方程：

　　就是有整数解的，而且有无穷多组解。而与此很像的是费马大定理方程：

　　就不存在非平凡的整数解。

　　两个长得如此之像的丢番图方程结果居然完全不同，历代数学家经过数百年的探索后，最终使用了当年的费马不敢想象的数学工具才艰难地得以证明。在人们解决费马大定理之前，希尔伯特提出了他的第十个问题：是否存在一种只有有限步骤的方法，使得我们能够判断任意一个丢番图方程的可解性？

　　如果存在这样的办法，那对费马大定理的证明就变成了很平凡的步骤，许许多多的数学问题也能巧妙地转化成一个丢番图方程进行解答了。因此，这个问题就相当于是在寻找数学中的一个“通法”，如果能找到，那么全世界所有数学家都会去研究丢番图方程和自己的研究领域的关系了，世界将是多么的美好。然而，并不完美的世界还是给了我们一个不完美的答案。 1970 年，前苏联数学家 马季亚谢维奇 给出了否定的答案，也就是说，不能在有限步内判断任意丢番图方程是否有解，更进一步地，我们甚至可以构造出一个无法证明其是否可解的丢番图方程！实际上，数学家们在 1900 年对这个问题没有任何的概念，直到在图灵提出了他著名的 停机问题 后才对此有了初步的认识，在此之后，数理逻辑和计算机得到大力发展，最终解决了许多重大难题，丢番图方程的不可解性就是其中之一。丢番图先生当年做这些研究，可能想不到他手下的这些式子会延伸出如此多的奇妙变化吧。

　　阿基米德

　　这位数学全才生前的最后一句话响彻寰宇：“不要踩坏我的圆！”他的墓碑上面也正是遵照他早已明确的意思，刻上了一幅与圆有关的图像：圆柱体与其内接球的体积比和表面积比都是 3 : 2 ——显然，阿基米德对这个结果很满意。

　　阿基米德完善并发展了前人提出的“穷竭法”，穷竭法由古希腊的安提芬( Antiphon )最早提出，他在研究“化圆为方”问题时，提出了使用圆内接正多边形面积“穷竭”圆面积的思想。后来，古希腊数学家欧多克斯( Eudoxus of Cnidus )做了改进，将其定义为：在一个量中减去比其一半还大的量，不断重复这个过程，可以使剩下的量变得任意小。阿基米德进一步改进这种方法后，将其应用到对曲线、曲面以及不规则体的体积的研究和讨论上，为现代积分学打开了一道隐隐的门。

　　他的著作《论球和圆柱》全篇以穷竭法为基础，证明了许多的相关定理。其中命题 34 的陈述是：任一球的体积等于一圆锥体积的4倍，该圆锥以球的大圆为底，高为球的半径。实际上，他的墓志铭就是这个命题的推论。

　　这个精力旺盛而长寿的天才还通过使用圆外接正多边形和圆内接正多边形逼近圆周率的真实值，他最终使用到了九十六边形（因为 96=2 5 * 3 ，稍后我们会在后面发现这个多边形正巧是可以通过尺规作图做出来的），得到π的真实值在 3.14163 和 3.14286 之间。

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