古代数学算经《孙子算经》里的趣味数学题：有物不知数【公倍数和有余数的除法综合应用】

阿尔法趣味数学网给大家带来的是古代数学算经《孙子算经》里的趣味数学题：有物不知数【公倍数和有余数的除法综合应用】。

题目适合年级：五年级

有物不知数【公倍数和有余数的除法综合应用】趣味数学题目：

有物不知数，让我数一数；

三个三个数，剩二好孤独；

五五数剩三，七七又二单；

此物多少数，谁能说清楚？

这是依据《孙子算经》上有名的“孙子问题”（又称“物不知数题”）编写而成的。原来的题目是：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？”用通俗的话来说，题目的意思就是：有一些物品，不知道有多少个，只知道将它们三个三个地数，会剩下2个；五个五个地数，会剩下3个；七个七个地数，也会剩下2个。这些物品的数量至少是多少个？怎样来解答这道题目呢？

有物不知数【公倍数和有余数的除法综合应用】答案：

《孙子算经》解这道题目的“术文”和答案是： “三三数之剩二，置一百四十；五五数之剩三，置六十三；七七数之剩二，置三十。并之，得二百三十三，以二百十减之，即得。”“答曰：二十三。”这些话是什么意思呢？用通俗的话来说，就是：

先求被3除余2，并能同时被5、7整除的数，这样的数最小是140；

再求被5除余3，并能同时被3、7整除的数，这样的数最小是63；

然后求被7除余2，并能同时被3、5整除的数，这样的数最小是30。

于是，由140＋63＋30=233，得到的233就是一个所要求得的数。但这个数并不是最小的。

再用求得的“233”减去或者加上3、5、7的最小公倍数“105”的倍数，就得到许许多多这样的数：

｛23，128，233，338，443，…｝

从而可知，23、128、233、338、443、…都是这一道题目的解，而其中最小的解是23。

这些物品的数目至少是23个。

需要指出的是，在《孙子算经》上，有一段关于这类题目的解题“术文”：

“凡三三数之剩一则置七十，五五数之剩一则置二十一，七七数之剩一则置十五，一百六以上以一百五减之，即得。”

（注：古称“106”和“105”为“一百六”和“一百五”，而称“160”和“150”为“一百六十”和“一百五十”。所以，这里的“一百六”和“一百五”分别指“106”和“105”，而不是“160”和“150”。）

阿尔法趣味数学小课堂：算法统宗对有物不知数的补充

　　明代著名的大数学家程大位，在他所著的《算法统宗》中，对于这种解一般“孙子问题”的方法，还编出了四句歌诀，名曰《孙子歌》：

三人同行七十稀，

五树梅花廿一枝；

七子团圆正半月，

除百零五便得知。

歌中的“廿”，读音与“念”音相同。“廿”即二十的意思。

这一歌诀的“诗意”，我们可以不去理会，只需注意它的数字就行了。歌诀中的每一句话，都指出了一步解题方法：

“三（3）人同行七十（70）稀”—是说除以3所得的余数，要用“70”去乘它；

“五（5）树梅花廿一（21）枝”—是说除以5所得的余数，要用“21”去乘它；

“七（7）子团圆正半月（15）”—“半月”是一个月30天的一半，即15日，这是说，除以7所得的余数，要用“15”去乘它；

“除百零五（105）便得知”—这是说要把上面所乘得的三个数相加，加得的和如果大于105，便应减去105，或者减去105的倍数。这也就是《孙子算经》上的“一百六（106）以上，以一百五（105）减之”。这样得出的差，便是所要求的这个最小的未知数了。

运用这一歌诀来解答这道“物不知数”问题，便是

2×70+3×21+2×15=140+63+30=233

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